Nasceu na casa de Marapicu, freguesia de Santo António de Jacotinga, termo da cidade do Rio de Janeiro, a 5 de abril de 1735, faleceu em Coimbra a 16 de abril de 1822. Era filho de Manuel Pereira Ramos de Lemos e Faria. 

Depois de estudar os preparatórios nas escolas dos jesuítas no Rio de Janeiro veio para Portugal, onde frequentou o curso de direito canónico da Universidade de Coimbra, sob a direcção de seu irmão mais velho João Pereira Ramos de Azeredo Coutinho, professor na mesma universidade. Recebeu o grau de doutor em 24 de outubro de 1754. Em 1761 foi nomeado reitor do Colégio das Ordens Militares, e em concurso obteve uma cadeira de oposição, e depois de lente na universidade. Em 1767 foi despachado juiz geral das ordens militares, e em 1768 desembargador dos agravos da Casa da Suplicação. No ano de 1765 também foi provido num lugar extraordinário do tribunal do Santo Oficio e deputado da Mesa Censória. 

Em 8 de maio de 1770 foi nomeado reitor da universidade, tomando posse no dia 29 do mesmo mês. Foi depois chamado pelo governo para fazer parte da junta criada sob o nome de Providencia Literária, encarregado da reforma da universidade sob a inspecção do cardeal da Cunha e do marquês de Pombal. Por carta régia de 11 de setembro de 1772, foi nomeado reformador da Universidade, para servir este cargo juntamente com o de reitor. A carta régia foi apresentada ao claustro pelo próprio marquês de Pombal a 22 do mês de outubro seguinte, com a ordem de se cumprir e registar escrita pela sua própria letra e firmada com a assinatura de Marquês visitador, sendo o mesmo marquês quem lhe conferiu a posse no dia seguinte. Desempenhava estes cargos quando se deu a memorável reforma dos estudos académicos, e dirigiu os novos estabelecimentos literários até ao mês de outubro de 1779, em que foi substituído nos ditos cargos pelo principal Mendonça, depois patriarca de Lisboa. Por essa ocasião teve a mercê ela carta de conselheiro. Em setembro de 1773 foi nomeado vigário capitular e bispo coadjutor e futuro sucessor do bispo de Coimbra, e confirmado com o titulo de bispo de Zenopoli por bula de 13 de abril de 1774, entrando na efectiva sucessão em 1779, pela morte de seu antecessor o bispo-conde D. Miguel da Anunciação, deixando então a reitoria da universidade. A 13 de maio de 1799 foi pela segunda vez nomeado reformador reitor da universidade, de que tomou posse logo do dia 16, cargo que ocupou até 27 de agosto de 1821, em que foi exonerado a seu pedido. Este segundo período da reitoria do venerando bispo compreendeu os tempos calamitosos da invasão francesa, em que se suspenderam os trabalhos escolares, e durante os quais o reitor esteve ausente em França, porque D. Francisco de Lemos foi um dos membros escolhidos pelo general Junot, em 1808, para fazer parte da deputação encarregada de ir a Baiona cumprimentar Napoleão, e pedir-lhe um rei da sua dinastia para Portugal, regressando ao reino com os seus companheiros em 1814. Foi eleito deputado ás cortes gerais e constituintes em 1821 pelo Rio de Janeiro, mas não chegou a tomar posse, e faleceu no ano seguinte. 

Fizeram-se-lhe em Coimbra sumptuosas exéquias, recitando nessa ocasião orações fúnebres os doutores frei Fortunato de S. Boaventura e o padre António José da Rocha. Para a biografia deste ilustre prelado pode ver-se a noticia que escreveu Varnhagen, publicada no tomo II, pág. 377, da Revista trimensal do Instituto, e o Suplemento do Diário do Governo, n.º 30, de 1822. O dr. Rodrigues de Gusmão publicou, a pág. 276 do tomo VII da Revista Litteraria do Porto, a Resposta que o bispo D. Francisco de Lemos deu ao secretário da Regência, João António Salter de Mendonça, que é uma espécie de apologia do procedimento da supradita deputação mandada a França, de que ele fizera parte. D. Francisco de Lemos escreveu muitas pastorais, mas parece que se perderam bastantes, por se terem procurado inutilmente no cartório da Câmara Eclesiástica do bispado, e nos de algumas igrejas paroquiais, encontrando-se apenas na colecção pertencente à freguesia de S. Pedro noticia de duas, publicadas pelo bispo, e impressas quando ainda era vigário capitular no impedimento do bispo D. Miguel da Anunciação. Em 1762 publicou em Coimbra a Oração gratulatoria recitada na Academia litúrgica a 4 de novembro de 1760.